La
Serie
D'Or
LA THEORIE DES ARTS PLASTIQUES a pour tâche d'examiner les rapports de distance du corps physique porteur de l'effet virtuel. Ce que l'on peut faire :
La première tâche comprend tous les problèmes qui, sous le nom de THEORIE DE LA PERSPECTIVE ET DE L'OMBRE, ont été, pour la plupart, résolus depuis la Renaissance. Toutes ces théories, l'Impressionnisme y compris, ont stimulé et dominé les arts de la représentation plane : la fresque, le dessin graphique, enfin la peinture à l'huile.
Le second problème, LA THEORIE DES PROPORTIONS proprement dite qui traite des valeurs de la distance dans leurs rapports absolus et indépendamment de la contemplation, n'a pas encore reçu de solution. Mais, depuis le cubisme, ce problème, bien qu'inconsciemment, est devenu le centre des arts plastiques. II domine la peinture abstraite. De là une des propriétés les plus caractéristiques de cette peinture nouvelle : dans le tableau, la perspective perd son importance parce que l'artiste traite dans un sens absolu les rapports des distances. En raison de son caractère essentiellement plastique, ce problème d'actualité annonce le commencement d'une nouvelle époque, surtout dans l'évolution de l'architecture et de la sculpture. Le problème des proportions a pour objet : LA PROPORTIONNALITE DE L'ETENDUE. Son élément : LA DISTANCE EN TANT QUE VALEUR SPATIALE ENTRE LES POINTS TERMINAUX CARACTERISTIQUES.
La distance peut être NON DIVISEE, c'est-à-dire simple ou DIVISEE, c'est-à-dire composée. En conséquence, sous certains aspects, c'est-à-dire sous une certaine projection, le point terminal caractéristique pourra représenter les points terminaux du corps physique ou ceux de ses fragments.
Les rapports de proportions des DISTANCES NON DIVISEES s'obtiennent au moyen d'une progression géométrique quelconque.
Le rapport de deux distances est une raison.
Soit le rapport des distances A et B :
Si nous voulons maintenant former une troisième distance C qui soit avec B dans le même rapport que B avec A, nous obtiendrons d'après le même principe :
C = B . r
L'EQUIVALENCE DES DEUX RAPPORTS CREE LA PROPORTION
Où A, B, C, sont les termes d'une même progression géométrique.
La raison pouvant avoir n'importe quelle valeur, le nombre de ces progressions géométriques est infini. Pourtant, dans les arts plastiques, nous rencontrons presque toujours des distances divisées, aussi la tâche la plus importante est-elle l'examen des proportions des distances divisées.
DISTANCE DIVISEE VEUT DIRE QU'UN TOUT EST LA SOMME DE SES PARTIES.
Partant de là, cherchons une série de valeurs telle que CHAQUE TERME SOIT LA SOMME DE PLUSIEURS AUTRES TERMES.
Pour atteindre ce but, le moyen le plus simple est de former une série de valeurs DONT CHAQUE TERME SOIT LA SOMME DES DEUX TERMES PRECEDENTS PLUS PETITS.
Nous désignerons cette nouvelle série de valeurs d'après son mode de formation SERIE PAR ADDITION. Soit une série de valeurs en général :
a0, a1, a2, a3, a4,.... série décroissante.
D'après les conditions de la série par addition :
a0 = a1 + a2
a1 = a2 + a3
a2 = a3 + a4
et ainsi de suite.
N'importe quel terme de cette série par addition est décomposable en termes dont le nombre est illimité de même que les composants sont aussi les termes de la série.
Le terme a0 par exemple de la série est décomposable en
2 parties : a0 = a1 + a2 mais puisque a1 = a2 + a3
3 parties : a0 = a2 + a3 + a2 mais puisque a2 = a3 + a4
4 parties : a0 = a2 + a3 + a4 + a3
5 parties : a0 = a3 + a4 + a3 + a4 + a3
et ainsi de suite...
Si maintenant nous voulons examiner du point de vue de leurs proportions les distances divisées qui, en conséquence du dit principe, peuvent être généralement représentées par une série par addition, IL NOUS FAUDRA CHERCHER UNE SERIE PAR ADDITION QUI SOIT EN MEME TEMPS UNE PROGRESSION GEOMETRIQUE. Les recherches que nous avons faites nous prouvent qu'une telle série par addition sera apte à l'examen des distances divisées comme à celui des distances non divisées.
La solution mathématique du problème donnera une série par addition en même temps progression géométrique dans laquelle, si le point de départ est l'unité, la valeur de r sera le seul nombre positif possible avec une approximation de dix décimales :
r = 0,6180339887 ..........
Comme dérivé de √5, nous aurons une décimale infinie, c'est-à-dire un nombre algébrique incommensurable. Cette raison donne la possibilité de réaliser une série qui soit tout à la fois une série par addition et une progression géométrique.
Soit en général une série logarithmique quelconque :
r-∞ ...... r-3, r-2, r-1, r0, r1, r2, r3, r4, r5,...... r+∞ où r0 = 1
Si nous donnons à r la valeur indiquée ci-dessus, à savoir 0,6180339887..., nous pourrons définir les valeurs de la série logarithmique sur la base de chacun des deux principes :
r2 = (0,6180339887...)2 = 0,3819660113... De même, d'après le principe de la série par addition :
r2 = r0 - r1 = 1 - 0,6180339887... = 0,3819660113... Puis
r3 = (0,6180339887...)3 = 0,2360679774... De même :
r3 = r1 - r2 = 0,6180339887... - 0,3819660113.... = 0,2360679774...
Nous pouvons continuer dans les deux sens cette définition des termes d'après les deux principes; les résultats ne seront limités que par l'approximation utilisée de la valeur de la raison.
NOUS POURRIONS DONNER A CETTE SERIE DE VALEURS LE NOM DE SERIE DE PROPORTIONS DES ARTS PLASTIQUES OU DE SERIE D'OR EN SOUVENIR DE LEONARDO DA VINCI. L'ECHELLE DE DISTANCES QUI EST LA VARIATION PRODUITE SUR SEPT UNTTES DIFFERENTES DE LADITE SERIE CONSTITUE, A DIVERS POINTS DE VUE, LA CLEF DU PROBLEME DES PROPORTIONS.
Puisqu'il s'agit d'une série logarithmique, il sera très utile d'employer COMME SIGNE la suite arithmétique des exposants EN INDIQUANT PAR UN ARC que, dans ce cas, il ne s'agit pas de nombres cardinaux, mais de NOMBRES ORDINAUX. Plaçons l'arc EN-DESSOUS là où les termes sont plus petits que l'unité; plaçons-le AU-DESSUS là où les termes sont plus grands que l'unité. Désignons l'unité, en tant que point central, par un zéro avec un point au milieu. Alors la série d'or se présentera sous sa nouvelle forme :
LECTURE DES SIGNES : LE NOMBRE SE LIT COMME UN NOMBRE ORDINAL EN AJOUTANT " TERME " ou plus simplement COMME UN NOMBRE ORDINAL.
Contrairement aux nombres ordinaux dont la valeur va croissant, les PETITS TERMES, en tant que puissances positives de la raison plus petite que l'unité, deviendront infiniment petits en valeur :
Les GRANDS TERMES, en tant que puissances négatives de la raison plus petite que l'unité, croîtront dans le même sens que les valeurs des nombres ordinaux et deviendront infiniment grands :
L'APPLICATION de l'échelle de distances issue de la série d'or peut être PASSIVE, c'est-à-dire une analyse, ou bien nous pouvons nous servir de ces règles comme de principes directeurs et, dans ce cas, l'application devient ACTIVE, c'est-à-dire pratique.
L'APPLICATION PASSIVE nous permet d'examiner :
— Etienne Beothy
- 1. dépendamment de la contemplation, c'est-à-dire dans un sens relatif, ou
- 2. indépendamment de la contemplation, c'est-à-dire dans un sens absolu.
La première tâche comprend tous les problèmes qui, sous le nom de THEORIE DE LA PERSPECTIVE ET DE L'OMBRE, ont été, pour la plupart, résolus depuis la Renaissance. Toutes ces théories, l'Impressionnisme y compris, ont stimulé et dominé les arts de la représentation plane : la fresque, le dessin graphique, enfin la peinture à l'huile.
Le second problème, LA THEORIE DES PROPORTIONS proprement dite qui traite des valeurs de la distance dans leurs rapports absolus et indépendamment de la contemplation, n'a pas encore reçu de solution. Mais, depuis le cubisme, ce problème, bien qu'inconsciemment, est devenu le centre des arts plastiques. II domine la peinture abstraite. De là une des propriétés les plus caractéristiques de cette peinture nouvelle : dans le tableau, la perspective perd son importance parce que l'artiste traite dans un sens absolu les rapports des distances. En raison de son caractère essentiellement plastique, ce problème d'actualité annonce le commencement d'une nouvelle époque, surtout dans l'évolution de l'architecture et de la sculpture. Le problème des proportions a pour objet : LA PROPORTIONNALITE DE L'ETENDUE. Son élément : LA DISTANCE EN TANT QUE VALEUR SPATIALE ENTRE LES POINTS TERMINAUX CARACTERISTIQUES.
La distance peut être NON DIVISEE, c'est-à-dire simple ou DIVISEE, c'est-à-dire composée. En conséquence, sous certains aspects, c'est-à-dire sous une certaine projection, le point terminal caractéristique pourra représenter les points terminaux du corps physique ou ceux de ses fragments.
Les rapports de proportions des DISTANCES NON DIVISEES s'obtiennent au moyen d'une progression géométrique quelconque.
Le rapport de deux distances est une raison.
Soit le rapport des distances A et B :
Si nous voulons maintenant former une troisième distance C qui soit avec B dans le même rapport que B avec A, nous obtiendrons d'après le même principe :
C = B . r
L'EQUIVALENCE DES DEUX RAPPORTS CREE LA PROPORTION
Où A, B, C, sont les termes d'une même progression géométrique.
La raison pouvant avoir n'importe quelle valeur, le nombre de ces progressions géométriques est infini. Pourtant, dans les arts plastiques, nous rencontrons presque toujours des distances divisées, aussi la tâche la plus importante est-elle l'examen des proportions des distances divisées.
DISTANCE DIVISEE VEUT DIRE QU'UN TOUT EST LA SOMME DE SES PARTIES.
Partant de là, cherchons une série de valeurs telle que CHAQUE TERME SOIT LA SOMME DE PLUSIEURS AUTRES TERMES.
Pour atteindre ce but, le moyen le plus simple est de former une série de valeurs DONT CHAQUE TERME SOIT LA SOMME DES DEUX TERMES PRECEDENTS PLUS PETITS.
Nous désignerons cette nouvelle série de valeurs d'après son mode de formation SERIE PAR ADDITION. Soit une série de valeurs en général :
a0, a1, a2, a3, a4,.... série décroissante.
D'après les conditions de la série par addition :
a0 = a1 + a2
a1 = a2 + a3
a2 = a3 + a4
et ainsi de suite.
N'importe quel terme de cette série par addition est décomposable en termes dont le nombre est illimité de même que les composants sont aussi les termes de la série.
Le terme a0 par exemple de la série est décomposable en
2 parties : a0 = a1 + a2 mais puisque a1 = a2 + a3
3 parties : a0 = a2 + a3 + a2 mais puisque a2 = a3 + a4
4 parties : a0 = a2 + a3 + a4 + a3
5 parties : a0 = a3 + a4 + a3 + a4 + a3
et ainsi de suite...
Si maintenant nous voulons examiner du point de vue de leurs proportions les distances divisées qui, en conséquence du dit principe, peuvent être généralement représentées par une série par addition, IL NOUS FAUDRA CHERCHER UNE SERIE PAR ADDITION QUI SOIT EN MEME TEMPS UNE PROGRESSION GEOMETRIQUE. Les recherches que nous avons faites nous prouvent qu'une telle série par addition sera apte à l'examen des distances divisées comme à celui des distances non divisées.
La solution mathématique du problème donnera une série par addition en même temps progression géométrique dans laquelle, si le point de départ est l'unité, la valeur de r sera le seul nombre positif possible avec une approximation de dix décimales :
r = 0,6180339887 ..........
Comme dérivé de √5, nous aurons une décimale infinie, c'est-à-dire un nombre algébrique incommensurable. Cette raison donne la possibilité de réaliser une série qui soit tout à la fois une série par addition et une progression géométrique.
Soit en général une série logarithmique quelconque :
r-∞ ...... r-3, r-2, r-1, r0, r1, r2, r3, r4, r5,...... r+∞ où r0 = 1
Si nous donnons à r la valeur indiquée ci-dessus, à savoir 0,6180339887..., nous pourrons définir les valeurs de la série logarithmique sur la base de chacun des deux principes :
r2 = (0,6180339887...)2 = 0,3819660113... De même, d'après le principe de la série par addition :
r2 = r0 - r1 = 1 - 0,6180339887... = 0,3819660113... Puis
r3 = (0,6180339887...)3 = 0,2360679774... De même :
r3 = r1 - r2 = 0,6180339887... - 0,3819660113.... = 0,2360679774...
Nous pouvons continuer dans les deux sens cette définition des termes d'après les deux principes; les résultats ne seront limités que par l'approximation utilisée de la valeur de la raison.
NOUS POURRIONS DONNER A CETTE SERIE DE VALEURS LE NOM DE SERIE DE PROPORTIONS DES ARTS PLASTIQUES OU DE SERIE D'OR EN SOUVENIR DE LEONARDO DA VINCI. L'ECHELLE DE DISTANCES QUI EST LA VARIATION PRODUITE SUR SEPT UNTTES DIFFERENTES DE LADITE SERIE CONSTITUE, A DIVERS POINTS DE VUE, LA CLEF DU PROBLEME DES PROPORTIONS.
Puisqu'il s'agit d'une série logarithmique, il sera très utile d'employer COMME SIGNE la suite arithmétique des exposants EN INDIQUANT PAR UN ARC que, dans ce cas, il ne s'agit pas de nombres cardinaux, mais de NOMBRES ORDINAUX. Plaçons l'arc EN-DESSOUS là où les termes sont plus petits que l'unité; plaçons-le AU-DESSUS là où les termes sont plus grands que l'unité. Désignons l'unité, en tant que point central, par un zéro avec un point au milieu. Alors la série d'or se présentera sous sa nouvelle forme :
LECTURE DES SIGNES : LE NOMBRE SE LIT COMME UN NOMBRE ORDINAL EN AJOUTANT " TERME " ou plus simplement COMME UN NOMBRE ORDINAL.
Contrairement aux nombres ordinaux dont la valeur va croissant, les PETITS TERMES, en tant que puissances positives de la raison plus petite que l'unité, deviendront infiniment petits en valeur :
Les GRANDS TERMES, en tant que puissances négatives de la raison plus petite que l'unité, croîtront dans le même sens que les valeurs des nombres ordinaux et deviendront infiniment grands :
L'APPLICATION de l'échelle de distances issue de la série d'or peut être PASSIVE, c'est-à-dire une analyse, ou bien nous pouvons nous servir de ces règles comme de principes directeurs et, dans ce cas, l'application devient ACTIVE, c'est-à-dire pratique.
L'APPLICATION PASSIVE nous permet d'examiner :
- 1. LA CONSTRUCTION SPATIALE DES CORPS PHYSIQUES EXISTANTS, c'est-à-dire LEURS PROPORTIONS.
- 2. LE CHANGEMENT DANS LE TEMPS DE LEUR CONSTRUCTION SPATIALE, c'est-à-dire LEUR DEVELOPPEMENT PROPORTIONNEL.
— Etienne Beothy